平面与平面的距离公式
在平面几何中，我们经常需要计算平面与平面之间的距离。根据向量的概念，平面与平面的距离可以使用向量的形式进行表示。设有两个平面：$pi_1$和$pi_2$，其法向量分别为$ extbf{n}_1$和$ extbf{n}_2$，则$pi_1$与$pi_2$之间的距离为：$$d=frac{ extbf{n}_1 cdot extbf{n}_2}{| extbf{n}_1|| extbf{n}_2|}$$其中，$cdot$表示向量的点积，$| |$表示向量的模长。平面与平面的距离应用
平面与平面的距离在实际问题中有着广泛的应用。下面举几个例子。 例一：计算一条直线到一个平面的距离。首先，我们可以通过解析几何或向量的方法得到该直线所在平面的法向量，然后再使用上述公式进行计算。 例二：计算两个平面之间的夹角。由于两个平面的法向量已知，根据向量的夹角公式，两个平面的夹角可以表示为：$$cos heta=frac{ extbf{n}_1 cdot extbf{n}_2}{| extbf{n}_1|| extbf{n}_2|}$$其中，$ heta$表示两个平面的夹角。 例三：计算一个空间点到一个平面的距离。我们可以通过求该点所在的垂线与平面的交点，然后计算该点与交点的距离，从而得到点到平面的距离。 以上几个例子只是平面与平面距离的应用之一，实际问题中还有很多其他的应用。平面与平面的距离计算实例
下面以一个具体的例子来说明如何计算平面与平面的距离。 例：已知两个平面分别为$pi_1: 2x-y+3z=4$和$pi_2: x+y-z=1$，求两个平面之间的距离。 解：首先，我们需要求出两个平面的法向量。对于$pi_1$，其法向量为$ extbf{n}_1=(2,-1,3)$；对于$pi_2$，其法向量为$ extbf{n}_2=(1,1,-1)$。将两个向量代入公式$d=frac{ extbf{n}_1 cdot extbf{n}_2}{| extbf{n}_1|| extbf{n}_2|}$中，得到： $$egin{aligned} d&=frac{ extbf{n}_1 cdot extbf{n}_2}{| extbf{n}_1|| extbf{n}_2|}\&=frac{(2,-1,3)cdot(1,1,-1)}{sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}\&=frac{-2}{sqrt{14}}end{aligned}$$ 因此，两个平面之间的距离为$frac{2sqrt{14}}{7}$。 通过以上计算实例，我们可以更好地理解平面与平面的距离公式向量及其应用，同时也对平面几何有了更深入的认识。
